一本通-1196：踩方格（递推+动态规划）

【题目描述】 有一个方格矩阵，矩阵边界在无穷远处。我们做如下假设：

a、每走一步时，只能从当前方格移动一格，走到某个相邻的方格上；

b、走过的格子立即塌陷无法再走第二次；

c、只能向北、东、西三个方向走；

请问：如果允许在方格矩阵上走n步，共有多少种不同的方案。2种走法只要有一步不一样，即被认为是不同的方案。

【输入】 允许在方格上行走的步数n(n≤20)。

【输出】 计算出的方案数量。

【输入样例】 2

【输出样例】 7

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#include <vector>
#include <cmath>
#include <string>
#include <climits>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <algorithm>

using namespace std;

vector<int> d(25);

int main()
{
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    d[0] = 1; d[1] = 3;

    int n; cin >> n;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        d[i] = 2 * d[i - 1] + d[i - 2];
    }
    cout << d[n] << endl;

    return 0;
}

设r[i], l[i], u[i]表示第i步向右、左、上运动的方案数，f[i]表示走i步的方案数，则有递推关系：

l[i] = l[i - 1] + u[i - 1]
r[i] = r[i - 1] + u[i - 1]
u[i] = u[ - 1] + l[i - 1] + r[i - 1]
f[i] = l[i] + r[i] + u[i] = 2 * f[i - 1] + f[i - 2]