96.Unique Binary Search Trees¶

96.Unique Binary Search Trees¶

Tags: Medium Dynamic Programming Tree

Links: https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }

        return dp[n];
    }
};

最开始并没有往卡特兰数的方向去想，最初的想法是利用分治法，也就是利用二叉树的性质，右子树的所有节点数值必然大于根节点，左子树节点数值必然小于根节点，那么对于当前结果，其值等于左子树能排列的个数和右子树能排列的个数相乘，特殊情况，左子树或右子树为空，视为种类为1.不同的数值依次作为根节点，所以可以写出最原始的方法。

int numTrees(int n) {
    if (n <= 1) return 1;
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        res += numTrees(i-1)*numTrees(n-i);
    }
    return res;
}

分析这个程序，发现会有很多重复计算，很类似斐波那契数列，所以考虑用一个数组来存储已经计算过的结果，就避免了重复计算。

对于1到n这些数，取i作为根，则i的左子树有i-1个数，右子树有n-i个数，如果增加一个数组dp来存储，则dp[0] = dp[1] = 1，然后内层循环要从j = 0开始。

细节方面不需要考虑dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];的溢出问题，因为题目给出的返回类型是int，所以能保证不会溢出，如果数据很大的时候，比如对于 $10^9+7$ 取模。

卡特兰数之前总结过，原始的数学模型：

n个1和n个-1构成的2n项： $$ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2 n} $$ 其部分和满足： $$ a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k} \geqslant 0, \quad(k=1,2, \cdots, 2 n) $$ 的数列的个数等于第n个Catalan数： $$ C_{n}=\frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{l}{2 n} \ {n}\end{array}\right) \quad(n \geqslant 0) $$ 其实恰好和这个序列保持一致。

第二种方法就是根据公式来写，相当于把求解公式展开：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long res = 1;
        for (int i = n + 1; i <= 2 * n; ++i) {
            res = res * i / (i - n);
        }

        return res / (n + 1);
    }
};

做数学类的计算的时候，尤其要注意的是数据类型，第六行的res = res * i / (i - n);写成res *= i / (i - n)就会出错，是因为i / (i -n)会自动取整，比如n=3的时候循环里面做下面的计算 $$ \frac{4}{1} \times \frac{5}{2} \times \frac{6}{3} $$ 计算5 / 2 = 2. 则最后结果为4.