数学——海伦公式¶
S=\sqrt{p \times(p-a) \times(p-b) \times(p-c)}
推导证明：
其中p为三角形周长得一半。a、b、c为三角形的三边长。
假设一个普通三角形三边长分别为a、b、c，c边的高为h：
设C的左半部长度为x，右半部为y，则有：
$$
x + y = c \
h^2 = a^2 - x ^2 \
h^2 = b^2 - y^ 2 \
$$
联立求解得：
$$
x = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c}\
y = \frac{c^2 - a^2 + b^2}{2c} \
$$
于是求得：
$$
h = \sqrt{b^ 2-y^2} = \sqrt{b^2 - \left( \frac{c^2 - a^2 + b2}{2c}\right)2} \
=\frac{1}{2c}\sqrt{4b2c2 - (c^2 - a^2 + b^2)} \
= \frac{1}{2c}\sqrt{(2bc - c^2 - b^2 + a^2)(2bc + b^2 + c^2 - a^2) } \
= \frac{1}{2c}\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)}\
令p = \frac{a+b+c}{2}\
S = \frac{c}{2} \cdot h = \frac{1}{4}\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)} \
= \sqrt{p \times(p-a) \times(p-b) \times(p-c)}
$$