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数学——海伦公式

S=p×(pa)×(pb)×(pc)

推导证明:

其中p为三角形周长得一半。a、b、c为三角形的三边长。

假设一个普通三角形三边长分别为a、b、c,c边的高为h:

示意三角形

设C的左半部长度为x,右半部为y,则有: x+y=c h2=a2x2 h2=b2y2  联立求解得: x=a2+c2b22c y=c2a2+b22c  于是求得: $$ h = \sqrt{b^ 2-y^2} = \sqrt{b^2 - \left( \frac{c^2 - a^2 + b2}{2c}\right)2} \ =\frac{1}{2c}\sqrt{4b2c2 - (c^2 - a^2 + b^2)} \ = \frac{1}{2c}\sqrt{(2bc - c^2 - b^2 + a^2)(2bc + b^2 + c^2 - a^2) } \ = \frac{1}{2c}\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)}\ 令p = \frac{a+b+c}{2}\ S = \frac{c}{2} \cdot h = \frac{1}{4}\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)} \ = \sqrt{p \times(p-a) \times(p-b) \times(p-c)} $$