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基础算法——生成子集与集合运算

参考链接：https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/98755754

https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/98850980

与生成子集相呼应的是全排列，其实可以看成是生成子集的一种特殊问题，但是因为涉及题目较多，所以将全排列单独总结。

给定一个集合{0,1,2,3,...,n-1}，生成所有的子集。

在刘汝佳的《算法竞赛入门经典》的7.2节完整的三种方法。

增量构造法

增量构造的思路是假定现在有{0,1,2,3,...,n-1}个元素，首先肯定是空集，然后放入第一个元素0，然后将包含0的长度为1，2，3，...，n集合生成，然后用1替换掉0，按照上述规律继续生成长度为1，2，...，n-1的子集。这里cur代表当前生成子集的长度，用数组A去记录当长度为cur时最后一个元素是多少，然后从该元素的下一个来进行构造。如果是自定义的集合，比如LeetCode的78，那就需要增加一个数组v来保存结果，用A记录下标。

//LeetCode 78
class Solution {
    vector<vector<int>> res;
    vector<int> v;
    vector<int> A;
public:
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        std::ios_base::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(NULL);
        cout.tie(NULL);

        int n = nums.size();
        v.resize(n);
        A.resize(n);
        subset(0, n, nums);

        return res;
    }

    void subset(int cur, int n, vector<int> & num)
    {
        vector<int> tmp(v.begin(), v.begin() + cur);
        res.push_back(tmp);

        int pos = cur ? A[cur - 1] + 1 : 0;
        for (int i = pos; i < n; ++i) {
            A[cur] = i;
            v[cur] = num[i];
            subset(cur + 1, n, num);
        }
    }
};

位向量法

位向量法思路和DFS很接近也非常好理解，用一个数组used来记录当前元素是否被使用过，然后做DFS，比较推荐此方法，就不用去额外写一个数组A去记录下标了。

//LeetCode 78
class Solution {
    vector<vector<int>> res;
    vector<bool> used;
public:
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        std::ios_base::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(NULL);
        cout.tie(NULL);

        int n = nums.size();
        used.resize(n, false);
        subset(0, n, nums);

        return res;
    }

    void subset(int cur, int n, vector<int> & nums)
    {
        if (cur == n) {
            vector<int> tmp;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                if (used[i]) tmp.push_back(nums[i]);
            }
            res.push_back(tmp);
            return;
        }
        used[cur] = true;
        subset(cur + 1, n, nums);
        used[cur] = false;
        subset(cur + 1, n, nums);
    }
};

二进制法

利用标准库里的bitset，包含在头文件bitset里面，用法可以参考：https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/90717924

img

固定长度的子集的生成

典型如LeetCode 77，n个数，生成长度为k的子集，如果是自定义子集，只需要在每次将元素推入tmp的时候修改成下标对应的自定义的数组即可。

class Solution {
    vector<int> tmp;
    vector<vector<int>> res;
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        std::ios_base::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(NULL);
        cout.tie(NULL);

        DFS(n, k, 1);

        return res;
    }

    void DFS(int n, int k, int level)
    {
        if (tmp.size() == k) {
            res.push_back(tmp);
            return;
        }

        for (int i = level; i <= n; ++i) {
            tmp.push_back(i);
            DFS(n, k, i + 1);
            tmp.pop_back();
        }
    }
};

典型题目：

  • LeetCode 78 Subset
  • POJ 3977 subset
  • POJ 2718